c语言递归算法及经典递归例子代码实现

一、什么叫做递归？

一个过程或函数在其定义或说明中有直接或间接调用自身的一种方法；递归函数就是直接或间接调用自身的函数，也就是自身调用自己；

刚接触递归的同学，可能难以理解递归，难以理解的点可能很多，例如：

1.函数为什么可以在自己的内部又调用自己呢?

2.既然可以自己调用自己，那么递归运行过程中一定回有很多层相互嵌套，到底什么时候不再嵌套呢？

3.递归运行过程中，相互嵌套的多层之间会有参数传递，多层之间是否会相互影响？

递归两个要素

1.递归边界

2.递归的逻辑——递归"公式"

递归的过程一定有参数的变化，并且参数的变化，和递归边界有关系.

在难度较大的题目中，这两者均不容易直接得到.

递归的种种问题，也许理解的同学可能可以用一句话解释清楚，但是不理解的同学再怎么说也没办法理解.

下面通过几个简单的例子【体会】一下递归，先从【感性】的角度理解递归.

1.Fibonacci数

我们直到Fibonacci数的递推公式为：F(0)=F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) n>=2;

这个明显地给出了递归边界n=0或1的时候F(n)的值，和递归逻辑F(n)=F(n-1)+F(n-2)，即递推公式.所以这个递归函数不难书写

#include
using namespace std;
int F(int n)//函数返回一个数对应的Fibonacci数
{
    if(n==0 || n==1)//递归边界
        return 1;
    return F(n-1) + F(n-2);//递归公式
}
int main()
{
    //测试
    int n;
    while(cin >> n)
        cout << F(n) << endl;
    return 0;
}

2.阶乘阶乘的递归公式为：

F(n) =1 n<=0

F(n) = n*F(n-1) n>0

代码如下：

#include
using namespace std;
int F(int n)
{
    if(n==0)//递归边界
        return 1;
 
    return n*F(n-1);//递归公式
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    cout << F(n) << endl;
    return 0;
}

3.数组求和

给一个数组a[]:a[0],a[1],...,a[n-1]如何用递归的方式求和？

仍然是两个问题：递归边界和递归公式.

递归边界是什么？一时不容易想到，但是我们想到了求和，多个数的求和过程是什么，x,y,z,w手动求和的过程是什么？步骤如下：

x+y=a,任务变为a,z,w求和

a+z=b,任务变为b,w求和

b+w=c得出答案

思考一下，【得出答案】这一步为什么就可以得出答案呢？(废话？)是因为，一个数不用相加就能得出答案.

所以，递归的边界就是只有一个数.

所以，递归边界有了，那么递归公式呢？其实手动计算过程中，隐含了递归公式：

试有n个数a1,a2,……an，试求和。

F(a1,a2,……an)=a1+F(a2,……,an)

其中+为求两个数的和，F为求多个数的和的递归函数.代码如下：

#include
using namespace std;
int F(int a[],int start,int end)
{
    if(start==end)//递归边界
        return a[start];
    return a[start] + F(a,start+1,end);//递归公式
}
int main()
{
    int a[] = {1,2,3,4,5};
    int s=0,e=4;
    cout << F(a,s,e) << endl;
    return 0;
}

4.求数组元素最大值

手动求最大值的过程是什么，遍历+比较，过程如下：

例如，求3,2,6,7,2,4的最大值：先设置最大值max=-999999，然后将max和数组元素逐个(遍历)比较如果a[i]>max，则更新max的值为a[i]，否则max不变，继续向后遍历，直到遍历结束.

max<3，则max=3

max>2，max=3不变

max<6，则max=6

max<7，则max=7

max>2，max=7不变

max>4，max=7不变

遍历结束，max=7为最大值.

和求和类似，递归的公式如下：

试有n个数a1,a2,……an，试求最大值。

F(a1,a2,……an)=max(a1+F(a1,F(a2,……,an))=max(a1+F(a2,F(a2,F(a3……,an)))

其中max为求两个数的较大值函数，F为求多个数的最大值的递归函数.代码如下：

#include
using namespace std;
#define max(a,b) (a>b?a:b)
int F(int a[],int s,int e)
{
    if(s==e)
        return a[s];
    else if(s+1 == e)//递归边界
        return max(a[s],a[e]);
    return max(a[s],F(a,s+1,e));//递归公式!!!
}
int main()
{
    int a[] = {5,1,4,6,2};
    int s = 0,e = 4;
    cout << F(a,s,e) << endl;
    return 0;
}

之所以，说上面的几个例子是【简单例子】，是因为上述所有的递归都属于【单向递归】.单向递归，递归的路径就是一个方向，所以思路相对比较容易想到.

较难的递归问题，一般都不是单向递归，而是需要使用【回溯】的方法，递归的方法不太容易想到.

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